Norma inducida por el producto interno

La norma inducida por el producto interno de un vector $\mathbf{u}$ en un espacio vectorial $V$ sobre $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ se define como la raíz cuadrada del producto interno del vector consigo mismo, es decir:

$\Vert \mathbf{v}\Vert =\sqrt{⟨\mathbf{v},\mathbf{v}⟩}$

Resultados

Se verifican $\forall \mathbf{u},\mathbf{v}\in V$:

• Regla del paralelogramo: $\Vert \mathbf{u}+\mathbf{v}{\Vert }^2+\Vert \mathbf{u}-\mathbf{v}{\Vert }^2=2\Vert \mathbf{u}{\Vert }^2+2\Vert \mathbf{v}{\Vert }^2.$
• Desigualdad de Cauchy-Schwarz : $|⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩|\le \Vert \mathbf{u}\Vert \Vert \mathbf{v}\Vert$
• Identidad de polarización: Para un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$: $⟨\mathbf{u}|\mathbf{v}⟩=\frac{1}{4}\left(\Vert \mathbf{u}+\mathbf{v}{\Vert }^2-\Vert \mathbf{u}-\mathbf{v}{\Vert }^2+i\Vert \mathbf{u}+i\mathbf{v}{\Vert }^2-i\Vert \mathbf{u}-i\mathbf{v}{\Vert }^2\right).$

algebra-lineal analisis-funcional