Variedad diferenciable

Una variedad diferenciable es un espacio topológico $M$ que localmente se parece al espacio euclídeo ${\mathbb{R}}^n$, y donde las transiciones entre coordenadas son funciones diferenciables. Más precisamente, una variedad diferenciable de dimensión $n$ es un par $(M,\mathcal{A})$ donde:

• $M$ es un espacio topológico de Hausdorff y segundo axiomático numerable,
• $\mathcal{A}$ es un atlas diferenciable: una colección de pares $(U_i,{\phi }_i)$ llamados cartas, donde:
  • $U_i\subset M$ es abierto,
  • ${\phi }_i:U_i\to {\phi }_i(U_i)\subset {\mathbb{R}}^n$ es un homeomorfismo,
  • Las funciones de transición ${\phi }_j\circ {\phi }_i^{-1}$ son funciones diferenciables (clase ${\mathcal{C}}^k$, usualmente $k=\infty$).

Cada punto $p\in M$ tiene una vecindad $U$ tal que existe una carta $(U,\phi )$ con coordenadas locales $(x^1,\dots ,x^n)$, es decir:

$$\phi (p)=(x^1(p),\dots ,x^n(p))\in {\mathbb{R}}^n.$$

Estructura

• Si todas las funciones de transición son ${\mathcal{C}}^{\infty }$, se dice que $M$ es una variedad suave.
• Si son ${\mathcal{C}}^{\omega }$, es una variedad analítica real.
• Si $M$ tiene estructura compleja, se habla de una variedad compleja.

Ejemplos

1. ${\mathbb{R}}^n$ con la identidad como carta global.
2. La esfera $S^n$ con cartas dadas por proyección estereográfica.
3. El toro ${\mathbb{T}}^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ con coordenadas periódicas.

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