Operadores positivos y semidefinidos positivos

Un operador lineal $A:V\to V$ en un espacio vectorial $V$ sobre $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$, equipado con un producto interno, se dice que es positivo si para todo vector $|v⟩\in V$, se cumple que $(|v⟩,A|v⟩)$ es real y no negativo:

$$⟨v|A|v⟩\equiv (|v⟩,A|v⟩)\ge 0.$$

Además, $A$ se dice estrictamente positivo o positivo definido si:

$$(|v⟩,A|v⟩)>0\text{para todo }|v⟩\ne 0.$$

Alternativamente, se dice que $A\in \mathcal{L}(V)$ es semidefinido positivo si existe un operador $S\in \mathcal{L}(V)$ tal que

$$A=S^{†}S,$$

donde $S^{†}$ es el adjunto de $S$.

Al conjunto de operadores semidefinidos positivos sobre $V$ se le denota por:

$$Pos(V)$$

Resultados

1. Todo operador positivo es Hermitiano.

2. Para cualquier operador $A$, el operador $A^{†}A$ es positivo:

$$⟨v|A^{†}A|v⟩=\Vert A|v⟩{\Vert }^2\ge 0.$$

3. Los eigenvalores de un operador positivo son reales y no negativos. Si es estrictamente positivo, todos los eigenvalores son estrictamente positivos.

4. Si $A$ es positivo, entonces existe otro operador Hermitiano $B$ tal que $A=B^2$. En espacios de Hilbert se habla de la raíz cuadrada positiva de $A$.

Observaciones

• La condición $A=S^{†}S$ proporciona una caracterización constructiva de positividad.

algebra-lineal