Matrices ortogonales

Una matriz ortogonal es una matriz cuadrada $Q\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ que satisface:

$$Q^{T}Q=Q{Q}^T=I,$$

donde $Q^T$ es la transpuesta de $Q$, e $I$ es la Matriz identidad de orden $n$.

Esto equivale a decir que las columnas (y filas) de $Q$ forman un conjunto ortonormal respecto al producto escalar estándar.

Propiedades

• $Q^{-1}=Q^T$
• $\det (Q)=\pm 1$
• La multiplicación por una matriz ortogonal preserva normas y ángulos: si $\mathbf{v}\in {\mathbb{R}}^n$, entonces: $$\Vert Q\mathbf{v}\Vert =\Vert \mathbf{v}\Vert ,$$ y el producto punto se conserva: $⟨Q\mathbf{u},Q\mathbf{v}⟩=⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩$.

Interpretación geométrica

Las matrices ortogonales representan rotaciones (si $\det (Q)=1$) o reflexiones (si $\det (Q)=-1$) en el espacio euclidiano ${\mathbb{R}}^n$.

algebra-lineal