Distinguibilidad de estados cuánticos

¹Supóngase que Alice elige un estado cuántico $|{\psi }_i⟩$, $(1\le i\le n)$ de un conjunto fijo de estados. Alice entrega el estado $|{\psi }_i⟩$ a Bob, cuya tarea es identificar el índice $i$ del conjunto de estados.

Si el conjunto $\{|{\psi }_i⟩{\}}_{i=1}^n$ es ortonormal, entonces Bob puede hacer una medición para distinguir los estados, usando el siguiente procedimiento: Defina un operador de medición $M_i\equiv |{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|$² para cada índice posible $i$, y un operador adicional $M_0$ definido como el operador positivo³⁴ $I-{\sum }_{i=1}^n|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|$. Estos operadores satisfacen la Relación de completez. Si el estado preparado es $|{\psi }_i⟩$, entonces $p(i)=⟨{\psi }_i|M_i|{\psi }_i⟩=1$, así que el resultado $i$ ocurre con certeza. Por tanto es posible distinguir los estados $\{|{\psi }_i⟩{\}}_{i=1}^n$ de manera fiable.

Si, por el contrario, los estados $\{|{\psi }_i⟩{\}}_{i=1}^n$ no son ortonormales, no hay mediciones cuánticas capaces de distinguir a los estados: En efecto, supóngase que puede realizarse tal medición a través de operadores $M_j$ con resultado $j$. Bob trata de determinar el índice $i$ a través de algún criterio $i=f(j)$ (I.e. si Bob obtiene el resultado $j$ el criterio $f(\cdot )$ determina que el estado medido es $|{\psi }_i⟩$) . Si se prepara el estado $|{\psi }_i⟩$, entonces la probabilidad de medir $j$ tal que $f(j)=1$ debe ser $1$. I.e.

$$⟨{\psi }_1|E_1|{\psi }_1⟩=1$$

si definimos $E_i\equiv {\sum }_{j:f(j)=i}{M}_j^{†}{M}_j$.

pendiente mecanica-cuantica

Footnotes

1. Nielsen-Chuang ↩

2. Observe que los estados $M_i\equiv |{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|$ son proyectores, por lo cual $M_i=M_i^{†}{M}_i$. ↩

3. PROOF? Demuestre que tal operador es positivo ↩

4. El libro define al operador como la raíz cuadrada de $I-{\sum }_{i=1}^n|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|$, pero esto es redundante pues $I-{\sum }_{i=1}^n|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|\equiv diag(0,...,0,1,...1)$, lo cual es igual a su raíz cuadrada. ↩