Representación de operadores lineales con matrices

Sea $A:V\to W$ un operador lineal entre dos espacios vectoriales $V$ y $W$ de dimensiones finitas $n$ y $m$ respectivamente, sobre un mismo campo $\mathbb{F}$.

El operador $A$ puede representarse mediante una matriz de tamaño $m\times n$, una vez se han fijado bases en $V$ y $W$. Sean $\{|v_1⟩,\dots ,|v_n⟩\}$ una base de $V$ y $\{|w_1⟩,\dots ,|w_m⟩\}$ una base de $W$. Entonces, para cada $j$ (con $1\le j\le n$), se escribe:

$$A(|v_j⟩)=a_{1j}|w_1⟩+a_{2j}|w_2⟩+\cdots +a_{mj}|w_m⟩,$$

donde los coeficientes $a_{ij}\in \mathbb{F}$ son los componentes de la imagen de $|v_j⟩$ en la base de $W$.

La matriz asociada a $A$ queda entonces definida como:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$$

En esta notación, el operador y su matriz se denotan con la misma letra $A$.

Dada esta matriz, se puede calcular la imagen de un vector $|v⟩\in V$, expresado en coordenadas respecto a la base, usando el producto matricial:

$$A{|v⟩}_{\text{base}}=[A]\cdot [|v⟩{]}_{\text{base}}$$

Espacios de Hilbert

Si $V$ y $W$ son espacios de Hilbert y se eligen basesortonormales, la representación matricial puede obtenerse usando productos internos:

$$A_{ji}=⟨w_j|A|v_i⟩$$

La matriz completa tiene la forma:

$$\left(\begin{array}{cccc}⟨w_1|A|v_1⟩& ⟨w_1|A|v_2⟩& \cdots & ⟨w_1|A|v_n⟩\\ ⟨w_2|A|v_1⟩& ⟨w_2|A|v_2⟩& \cdots & ⟨w_2|A|v_n⟩\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ ⟨w_m|A|v_1⟩& ⟨w_m|A|v_2⟩& \cdots & ⟨w_m|A|v_n⟩\end{array}\right)$$

algebra-lineal