Traza de un operador lineal

La traza de un operador lineal $A:V\to V$ en un espacio vectorial $V$ de dimensión finita sobre un campo $\mathbb{F}$ se define como la suma de los elementos diagonales de la matriz que representa a $A$ en alguna base de $V$. Formalmente, si $\{|e_1⟩,|e_2⟩,\dots ,|e_n⟩\}$ es una base de $V$ y $A|e_j⟩={\sum }_{i=1}^n{a}_{ij}|e_i⟩$, entonces la traza de $A$, denotada por $\text{Tr}(A)$, se define como como

$$Tr(A)=\sum _i{a}_{ii}.$$

Propiedades

Sean $A,B:V\to V$ operadores lineales. Se verifica:

• Linealidad:

$$\text{Tr}(A+cB)=\text{Tr}(A)+c\cdot \text{Tr}(B)$$

para cualquier escalar $c\in \mathbb{F}$.

• Traza de la composición de operadores (ciclicidad):

$$\text{Tr}(AB)=\text{Tr}(BA)$$

Observe que este resultado implica la siguiente propiedad:

• Invarianza bajo cambio de base: Sea $P:V\to V$ un operador lineal invertible. Entonces

$$\text{Tr}(A)=\text{Tr}(PA{P}^{-1}).$$

• Traza del producto tensorial:

$$\text{Tr}(A\otimes B)=\text{Tr}(A)\cdot \text{Tr}(B)$$

algebra-lineal