Teorema de representación de Riesz

Sea $V$ un espacio de Hilbert complejo con producto interno $⟨\cdot |\cdot ⟩:V\times V\to \mathbb{C}$. El teorema de representación de Riesz establece que todo Funcional lineal continuo $f:V\to \mathbb{C}$ puede representarse como un producto interno con un vector fijo de $V$.

Formalmente: Para todo $f\in V^{\ast }$ existe un único vector ${\mathbf{v}}_f\in V$ tal que

$$f(\mathbf{w})=⟨{\mathbf{v}}_f,\mathbf{w}⟩\text{para todo }\mathbf{w}\in V.$$

Además, la aplicación $f\mapsto {\mathbf{v}}_f$ es lineal y define un isomorfismo anti-lineal entre $V^{\ast }$ y $V$:

$$V^{\ast }\cong V.$$

Resultados

Todo funcional lineal continuo sobre un espacio de Hilbert complejo es de la forma:

$$f(\mathbf{w})=⟨\mathbf{v},\mathbf{w}⟩,$$

para un único $\mathbf{v}\in V$.

algebra-lineal analisis-funcional