Producto de Kronecker

Sea $A$ una matriz de tamaño $m\times n$ y $B$ una matriz de tamaño $p\times q$, el producto de Kronecker, también conocido como producto tensorial, de $A$ por $B$, denotado como $A\otimes B$, es una matriz de tamaño $mp\times nq$ formada por el producto de cada elemento de $A$ por la matriz completa $B$. Formalmente, si $A=[a_{ij}]$ y $B=[b_{kl}]$, entonces el producto de Kronecker $A\otimes B$ se define como:

$$A\otimes B=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}B& a_{12}B& \cdots & a_{1n}B\\ a_{21}B& a_{22}B& \cdots & a_{2n}B\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}B& a_{m2}B& \cdots & a_{mn}B\end{array}\right]$$

Cada elemento $a_{ij}B$ representa la multiplicación de la matriz $B$ por el escalar $a_{ij}.$

Propiedades

• Asociatividad:

$$(A\otimes B)\otimes C=A\otimes (B\otimes C)$$

• Distributividad sobre la suma:

$$A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C,(A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C$$

• Multiplicación mixta (compatibilidad con el producto matricial):

$$(A\otimes B)(C\otimes D)=(AC)\otimes (BD)$$

(siempre que los productos $AC$ y $BD$ estén bien definidos).

• Producto por un escalar:

$$\lambda (A\otimes B)=(\lambda A)\otimes B=A\otimes (\lambda B)$$

• Inversas e identidad Si $A$ y $B$ son matrices invertibles:

$$(A\otimes B{)}^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}$$

Y si $I_m$ e $I_n$ son identidades, entonces $I_m\otimes I_n$ es la identidad de tamaño $mn\times mn$.

Vectores columna

Si $|u⟩\in {\mathbb{C}}^{m\times 1}$ y $|v⟩\in {\mathbb{C}}^{n\times 1}$ son vectores columna, su producto de Kronecker es otro vector columna en ${\mathbb{C}}^{mn\times 1}$. Si:

$$|u⟩=\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ ⋮\\ u_m\end{array}\right],|v⟩=\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right]$$

Entonces:

$$|u⟩\otimes |v⟩=\left[\begin{array}{c}{u}_1|v⟩\\ u_2|v⟩\\ ⋮\\ u_m|v⟩\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{u}_1{v}_1\\ u_1{v}_2\\ ⋮\\ u_1{v}_n\\ u_2{v}_1\\ ⋮\\ u_2{v}_n\\ ⋮\\ u_m{v}_n\end{array}\right]$$

algebra-lineal