Proyector ortogonal

Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $\mathbb{F}$ con dimensión finita $n$, y sea $W$ un subespacio de $V$ de dimensión $k$. Supongamos que existe una base ortonormal $\{|1⟩,|2⟩,...,|n⟩\}$ de $V$ tal que los primeros $k$ vectores $\{|1⟩,...,|k⟩\}$ forman una base ortonormal de $W$.

Un proyector ortogonal $P:V\to V$ es un operador lineal que cumple:

1. Idempotencia: $P^2=P$.
2. Hermiticidad: $P=P^{†}$.

El operador $P$ proyecta ortogonalmente sobre $W$, es decir, para todo $|v⟩\in V$, se tiene $P|v⟩\in W$, y $|v⟩-P|v⟩\in W^{\perp }$.

En términos de la base ortonormal anterior, el proyector puede escribirse como:

$$P=\sum _{i=1}^k|i⟩⟨i|,$$

donde $⟨i|$ es el vector dual correspondiente a $|i⟩$, con $⟨i|j⟩={\delta }_{ij}$.

Es común referirse al espacio de $P$ como el subespacio sobre el cual proyecta, en este caso $W$.

También se define el complemento ortogonal del proyector $P$ como el operador:

$$Q=I-P,$$

el cual es también un proyector ortogonal sobre el complemento ortogonal $W^{\perp }=\mathrm{span}\{|k+1⟩,...,|n⟩\}$.

Resultados

• Los eigenvalores de un proyector ortogonal son necesariamente $0$ o $1$.
• Si $P$ y $Q=I-P$ son proyectores ortogonales, entonces $PQ=QP=0$ y $P+Q=I$.

algebra-lineal