La geometría no euclideana es cualquier sistema geométrico que no satisface el quinto postulado de Euclides, que establece que por un punto exterior a una recta pasa una única paralela.
Existen dos clases principales de geometría no euclideana:
- Geometría hiperbólica: por un punto exterior a una recta pasan infinitas geodésicas que no la intersectan. Tiene curvatura constante negativa.
- Geometría elíptica: no existen rectas paralelas, ya que todas las geodésicas eventualmente se encuentran. Tiene curvatura constante positiva. Ambas geometrías son ejemplos de geometrías de Riemann en donde la métrica generaliza la noción de distancia.
Características generales
- Las nociones de distancia, ángulo, área y paralelismo cambian respecto a la geometría euclideana.
- La suma de los ángulos de un triángulo no es : es menor en geometría hiperbólica, y mayor en la elíptica.
- Las geodésicas (líneas rectas generalizadas) ya no son segmentos de línea sino curvas determinadas por la métrica del espacio.
Ejemplos de modelos
- Modelo del disco de Poincaré y semiplano superior para la geometría hiperbólica.
- La esfera con la métrica estándar como modelo de geometría elíptica.