Relación de completez

Sea $\{|i⟩{\}}_{i=1}^n$ una base ortonormal para un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$. La relación de completez se define por la identidad:

$$\sum _{i=1}^n|i⟩⟨i|=I,$$

donde cada Producto Ket-Bra $|i⟩⟨i|$ representa el proyector sobre el espacio generado por $|i⟩$, e $I$ es el Operador identidad en $\mathcal{H}$.

Dado un vector arbitrario $|v⟩\in \mathcal{H}$, existen escalares $v_1,\dots ,v_n\in \mathbb{F}$ tales que:

$$|v⟩=\sum _{i=1}^n{v}_i|i⟩.$$

Entonces

$$\left(\sum _{i=1}^n|i⟩⟨i|\right)|v⟩=\sum _{i=1}^n|i⟩⟨i|v⟩=\sum _{i=1}^n{v}_i|i⟩=|v⟩,$$

lo que muestra que la expansión del vector $|v⟩$ en la base ortonormal $\{|i⟩\}$ puede escribirse utilizando la relación de completez.

Los coeficientes $v_i=⟨i|v⟩$ representan las componentes del vector $|v⟩$ en dicha base.

algebra-lineal