Doble dual de un espacio vectorial

Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $\mathbb{F}$. El doble dual de $V$, denotado como $V^{\ast \ast }$, se define como el dual del espacio dual $V^{\ast }$:

$$V^{\ast \ast }:=(V^{\ast }{)}^{\ast }.$$

Cada elemento de $V^{\ast \ast }$ es una aplicación lineal $\Psi :V^{\ast }\to \mathbb{F}$.

Existe una correspondencia natural entre vectores $\mathbf{v}\in V$ y funcionales del doble dual, definida por:

$$\Phi :V⟶V^{\ast \ast },\mathbf{v}\mapsto {\varphi }_{\mathbf{v}},$$

donde ${\varphi }_{\mathbf{v}}(f)=f(\mathbf{v})$ para todo $f\in V^{\ast }$.

Esta correspondencia se conoce como el morfo dual canónico.

Propiedades

• Linealidad: Si $\alpha ,\beta \in \mathbb{F}$ y $\mathbf{u},\mathbf{v}\in V$, entonces:

$${\varphi }_{\alpha \mathbf{u}+\beta \mathbf{v}}(f)=f(\alpha \mathbf{u}+\beta \mathbf{v})=\alpha f(\mathbf{u})+\beta f(\mathbf{v})=\alpha {\varphi }_{\mathbf{u}}(f)+\beta {\varphi }_{\mathbf{v}}(f)$$

para todo $f\in V^{\ast }$.

• Inyectividad: Si ${\varphi }_{\mathbf{u}}={\varphi }_{\mathbf{v}}$, entonces $f(\mathbf{u})=f(\mathbf{v})$ para todo $f\in V^{\ast }$. Esto implica $\mathbf{u}=\mathbf{v}$, ya que los funcionales lineales separan puntos.

• Suprayectividad (dimensión finita): Si $\dim V<\infty$, entonces para todo $\Psi \in V^{\ast \ast }$ existe $\mathbf{v}\in V$ tal que $\Psi (f)=f(\mathbf{v})$ para todo $f\in V^{\ast }$. Así, $\Phi$ es sobreyectiva y por tanto un isomorfismo.

algebra-lineal