Funciones de operadores

Dada una función $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ y un operador normal $A$ sobre un espacio de Hilbert de dimensión finita, es posible definir la evaluación de la función $f$ sobre el operador $A$.

Supongamos que $A$ admite una descomposición espectral:

$$A=\sum _{a}a|a⟩⟨a|,$$

donde $\{|a⟩\}$ es una base ortonormal de eigenvectores de $A$, y los $a$ son los eigenvalores correspondientes.

Entonces se define:

$$f(A)=\sum _{a}f(a)|a⟩⟨a|$$

Esta construcción se conoce como la evaluación funcional de $f$ en $A$.

Unicidad

Esta definición de $f(A)$ está bien definida y es única: si $A$ es diagonalizable mediante una base ortonormal (como ocurre con operadores normales), entonces cualquier función $f$ definida sobre el espectro de $A$ induce un operador que conmuta con $A$ y comparte sus eigenvectores, donde cada eigenvalor $a$ es reemplazado por $f(a)$.

algebra-lineal