Operadores diagonales

Un operador lineal $A:V\to V$ en un espacio vectorial $V$ sobre un campo $\mathbb{F}$ se dice que es diagonal si existe una base $\{|e_i⟩{\}}_{i=1}^n$ de $V$ tal que cada $|e_i⟩$ es un eigenvector de $A$.

En otras palabras, $A$ es diagonal si actúa de forma escalar sobre los vectores de una base del espacio:

$$A|e_i⟩={\lambda }_i|e_i⟩,\text{para todo }i=1,\dots ,n.$$

En este caso, la matriz de $A$ respecto a la base ordenada de eigenvectores es de la forma:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right)$$

donde ${\lambda }_i$ es el eigenvalor asociado al eigenvector $|e_i⟩$.

Los operadores diagonales son un caso particular de operadores diagonalizables.

algebra-lineal