Eigenvalores y eigenvectores

Sea $A:V\to V$ un operador lineal sobre un espacio vectorial $V$ definido sobre un campo $\mathbb{F}$. Un eigenvalor de $A$ es un escalar $\lambda \in \mathbb{F}$ tal que existe al menos un vector no nulo $|v⟩\in V$ que satisface la ecuación:

$$A|v⟩=\lambda |v⟩.$$

Dicho vector $|v⟩$ se denomina eigenvector de $A$ correspondiente al eigenvalor $\lambda$.

Eigenespacios

El conjunto de todos los vectores $|v⟩\in V$ que satisfacen $A|v⟩=\lambda |v⟩$, junto con el vector nulo, constituye un subespacio de $V$ denominado eigenespacio o espacio propio asociado a $\lambda$. Se denota usualmente como:

$$E_{\lambda }=\ker (A-\lambda I).$$

Polinomio característico

Para determinar los eigenvalores de $A$, se considera su representación matricial respecto a alguna base y se analiza la ecuación:

$$(A-\lambda I)|v⟩=|0⟩.$$

La existencia de soluciones no triviales implica que la matriz $A-\lambda I$ es , lo cual equivale a que su Determinante es cero:

$$\det (A-\lambda I)=0.$$

El polinomio $\det (A-\lambda I)$ se llama el polinomio característico de $A$, y sus raíces son los eigenvalores. Por el Teorema fundamental del álgebra, este polinomio de grado $n$ (si $\dim V=n$) tiene $n$ raíces complejas (contadas con multiplicidad). Este polinomio depende únicamente del operador A y no de la base elegida para su representación.¹

algebra-lineal

Footnotes

1. : ¿Demostración? ↩