Multiplicidad

La multiplicidad asociada a un eigenvalor $\lambda$ de un operador lineal $A:V\to V$, con $V$ un espacio vectorial sobre un campo $\mathbb{F}$, se define en dos contextos principales: la multiplicidad algebraica y la multiplicidad geométrica.

Multiplicidad algebraica

La multiplicidad algebraica de un eigenvalor $\lambda$, denotada por $m_a(\lambda )$, se refiere al número de veces que $\lambda$ aparece como raíz del de $A$. Si el polinomio característico de $A$ es $p(\lambda )=\det (A-\lambda I)$, entonces $m_a(\lambda )$ es el mayor entero $k$ tal que $(\lambda -{\lambda }_i{)}^k$ divide a $p(\lambda )$, donde ${\lambda }_i$ es una raíz del polinomio.

Multiplicidad geométrica

La multiplicidad geométrica de un eigenvalor $\lambda$, denotada por $m_g(\lambda )$, se define como la dimensión del asociado a $\lambda$, es decir:

$$m_g(\lambda )=\dim (\ker (A-\lambda I))$$

Relación entre multiplicidades

Para todo eigenvalor $\lambda$ de $A$ se cumple:

$$1\le m_g(\lambda )\le m_a(\lambda )$$

El operador $A$ es diagonalizable si y sólo si $m_g(\lambda )=m_a(\lambda )$ para todo eigenvalor $\lambda$.

Cuando $m_g(\lambda )<m_a(\lambda )$ para algún $\lambda$, entonces no existe una base de eigenvectores para $A$, y es necesario considerar vectores generalizados para describir completamente su estructura.

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