Espectro de un operador lineal

El espectro de un operador lineal $A:V\to V$, donde $V$ es un espacio vectorial sobre un campo $\mathbb{F}$, se refiere al conjunto de todos los eigenvalores de $A$.

Dentro de este contexto, se pueden distinguir dos tipos de espectros según la Multiplicidad de los eigenvalores: degenerado y no degenerado.

Espectro degenerado

Un espectro se considera degenerado si al menos uno de los eigenvalores de $A$ tiene una multiplicidad geométrica mayor que uno. Es decir, si existe un eigenvalor $\lambda$ tal que el $E_{\lambda }$ tiene dimensión mayor que uno.

Desde el punto de vista físico, esto indica que hay más de un eigenvector linealmente independiente asociado al mismo eigenvalor, lo cual da lugar a libertad en la elección de base del subespacio asociado.

Espectro no degenerado

Un espectro se dice no degenerado si todos los eigenvalores de $A$ tienen multiplicidad geométrica igual a uno. Esto implica que cada eigenvalor tiene un único eigenvector (hasta escalares) asociado, y cada espacio propio es unidimensional.

Eigenvalores degenerados

Un eigenvalor se dice degenerado si tiene asociados dos o más eigenvectores linealmente independientes. En general, un eigenvalor se dice $m$-degenerado si el asociado tiene dimensión $m$.

Propiedad de cierre bajo combinaciones lineales

Teorema: Cualquier combinación lineal de eigenvectores asociados al mismo eigenvalor también es un eigenvector correspondiente a ese eigenvalor.

Demostración: Sean $|u⟩$ y $|v⟩$ dos eigenvectores de $A$ con el mismo eigenvalor $\lambda$:

$$A|u⟩=\lambda |u⟩,A|v⟩=\lambda |v⟩$$

Sea $|w⟩=c_1|u⟩+c_2|v⟩$. Entonces:

$$\begin{array}{rl}A|w⟩& =A(c_1|u⟩+c_2|v⟩)\\ & =c_{1}A|u⟩+c_{2}A|v⟩\\ & =c_1\lambda |u⟩+c_2\lambda |v⟩\\ & =\lambda (c_1|u⟩+c_2|v⟩)=\lambda |w⟩■\end{array}$$

algebra-lineal